.RU

6.2 Характеристика поведения потребителей в квазилинейных экономиках

В дальнейшем сравниваются потребительские наборы, которые оказываются рыночными равновесиями при различных организациях рынков (совершенная конкуренция, монополия, олигополия и т. д.). При этом всюду предполагается, что потребители рассматривают рыночные цены как данные. Другими словами, определяя предпочитаемый потребительский набор (xi,Zi) при рыночных ценах благ (p, 1), потребитель в экономике EQ решает следующую задачу:

Vi(xiI,... ,жй) + Zi ^ max

pxi + Zi ^ ei, (CQ)

Xifc ^ 0.

Соответствующая задача в экономике E+ включает дополнительное ограничение Zi ^ 0. (Будем обозначать эту задачу через (C++).) Здесь через в обозначен доход потребителя.

Имеют место следующие результаты, характеризующие оптимальный выбор потребителя. Теорема 81:

Предположим, что (Xi,Zi) - решение задачи потребителя (CQ) при ценах p. Тогда Xi является решением следующей задачи:

Vi(xiI,..., %ц) - pXi ^ max

Xifc ^ 0. (©)

И обратно, пусть Xi - решение задачи (©), тогда (Xi,e - pXi) - решение задачи (CQ) при ценах p. J

Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения. ?

Это означает, что спрос потребителя на первые l благ не зависит от его дохода. Аналог этого результата верен и в случае задачи (C++), когда допустимые потребительские наборы удовлетворяют дополнительному условию Zi ^ 0, что показывает следующая теорема. Теорема 82:

Предположим, что Vi(-) - вогнутая функция, а (Xi,Zi), - решение задачи потребителя (C++) при ценах p (соответствующей экономике E+), такое что Zi > 0. Тогда Xi является решением следующей задачи

Vi(xiI,..., хц) - pXi ^ max

Xifc ^ 0 Vk (®)

И обратно, пусть xi - решение задачи (©), и в ^ pxi, тогда (x^^i - pxi) - решение задачи (CQ+) при ценах p и доходе в. J

Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения. ?

Предположим дополнительно, что Vi(-) - непрерывно дифференцируемая функция. Тогда для решения задачи оптимального выбора потребителя (CQ) (или (CQ+) при fi > 0) должно выполняться следующее условие

Vvi(xi) ^ p,

причем если Xik > 0, то

dvi(x i)

~Я = Pfc.

dxifc

Таким образом, если решение задачи потребителя внутреннее (xi > 0) и, кроме того, fi > 0 в случае задачи (C++)), то

Vvi(x i) = p.

Другими словами, градиент функции Vi(-), вычисленный для набора благ, совпадающего с рыночным спросом потребителя, равен вектору рыночных цен этих благ. Таким образом, градиент функции Vi(-) представляет собой обратную функцию спроса pi(xi) потребителя i - вектор цен первых l благ, при котором потребитель предъявляет спрос именно на этот набор благ.

В классе квазилинейных экономик важную роль играет случай когда предпочтения всех потребителей, помимо свойства квазилинейности обладают свойством сепарабельности, т. е. функции полезности таких потребителей представимы в виде

Ui (жа,...,жа ,fi) = Vi(xiI,... ,жй) + fi = E Vifc (xifc) + fi.

fceK

Если функция полезности i-го потребителя имеет такой вид, то задачу потребителя (CQ) можно разложить на l задач - по одной на каждое благо кроме (l + 1)-го:

Vifc (xifc) - pfcXifc ^ max (CQfc)

xik ^0

Теорема 83:

Если xi - решение задачи потребителя (CQ) при ценах p, то Xik - решение задачи (Cgfc) при цене pfc. Обратно, если Xik - решение задачи (CQ&) при цене pfc при k = 1,..., l, то xi = (XiI,..., Xiz) - решение задачи (CQ) при p = (pI,... ,рг). J

Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения. ?

Из данной теоремы следует, что функция спроса на k -е благо зависит только от цены на это благо, т. е. имеет вид Xifc(p&).

В этом случае (при условии дифференцируемости) необходимое условие оптимальности потребительского набора (xi,fi) (как в случае экономики EQ , так и в случае E+ при fi>0) имеет вид:

dvifc (Xifc) -^ < Pfc,

dXifc

причем если Xik > 0, то

dvifc (Xifc)

= Pk.

dXifc

Это условие является также и достаточным, если Vifc(?) - вогнутые функции.

Из Теоремы 83 следует, что, вместо исходной задачи мы можем использовать для анализа спроса на k -е благо задачу (Cgk). Мы будем предполагать, что функция Vik(xik) дважды дифференцируема, имеет положительную производную и строго вогнута. Строгая вогнутость гарантирует, в числе прочего, что если решение задачи (Cgk) существует, то оно единственно. Очевидно, что это решение есть значение функции спроса рассматриваемого потребителя на k -е благо при данном pk, ж^ (pk).

Рассмотрим условия существования решения задачи (Cgk). (Заметим, что из Теоремы 83 следует, что решение исходной задачи (CQ) в случае сепарабельной функции полезности существует тогда и только тогда, когда существуют решения задач (Cgk) при любом k = 1,..., l.) Введем обозначения

dvjfc (xjfc) p = sup -

xIK>0 dxik

и

. " dvjfc (xifc) p = mt - .

- XIK >0 dxifc
Легко видеть, что при любом pfc, таком что p < pk < p, решение задачи (Cgk) существует. Действительно в силу непрерывности функции dvik(xik)/dXjk, существует xik, такое что

dvik (xik)

я = pk.

dxk

Это Xik должно быть решением задачи потребителя при ценах pk.

Кроме того, при ценах pk < p задача (Cgk) не имеет решения. Покажем это. Пусть при pk < p существует решение Xik (pk) ^ 0. Тогда должно выполняться необходимое условие оптимума (условие первого порядка)

dvik(xik(pk))

< pk.

dxik

Откуда в силу того, что pk < p имеем

dvik(xik(pk)) O dxik

Рассмотрим теперь значение функции dvik (xik )/dxik в точке xik (pk) + ? .В силу убывания этой функции имеем

dvik (xik (pk) + g) < dvik (xik (pk)) dxik dxik

при любом g > 0. Откуда получаем

dvik(xik(pk) + g) < dvik(xik(pk)) 0 dxik

Так как xik (pk) + ? > 0, мы получили противоречие с определением инфимума. Тем самым, предположив существование решения задачи (Cgk) при pk < p мы пришли к противоречию, а значит полностью обосновали то, что при pk < p задача (Cgk) не имеет решения.

Покажем теперь, что xik (pk) ^ 0 при pk ^ то. Рассмотрим для этого два случая: pi = то и p < то.

Пусть p = то. При pk > p, по доказанному ранее решение xik (pk) задачи (Cgk) существует, причем оно будет внутренним (xik (pk) > 0), так как любое значение pk > p по непрерывности функции dvik(xik)/dxik может быть реализовано при соответствующем подборе xik. Это означает, что условие первого порядка в этой задаче выполнено как равенство при pk > p:

dvik(xik(pk))

= pk,

dxk

и оно определяет функцию спроса Xik (pk) при pk > p.

Рассмотрим теперь последовательность {pn}, такую что

lim pn = го.

Выделим из последовательности {pn} возрастающую подпоследовательность {p*}. На основании подпоследовательности цен {p*} построим соответствующую ей последовательность объемов спроса {X*k} по правилу

dVjkKfc) = pns dXik pk .

Так как p* = го, то в силу строгой вогнутости функции полезности имеем, что после

довательность объемов спроса {X*k } убывает, причем X^f^1 p решение задачи (Cgk) является внутренним и, таким образом, ж* > 0 Vns, но каждая убывающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел. Пусть Xik - предел этой последовательности объемов спроса и Xik > 0. Тогда, как нетрудно заметить, подпоследовательность {p*s} имеет (в силу непрерывности dvik(Xik)/dXik) конечный предел dvik(Xik)/dXik, что противоречит ее построению. Получив противоречие, мы доказали, тем самым, что Xik = 0 и тем самым, что Xik(pk) ^ 0 при pk ^ го.

Пусть теперь pi < го. Тогда в силу убывания функции dVik(Xik)/dXik имеет место равенство

dvik(xik) dvik (xik) p = lim - = max - .

xik ^O dxik xik ^O dxik

Тогда при любой цене pk ^ p выполнено

dvik (0)

^ pk.

dxik

Отсюда следует, что при pk ^ p спрос на данное благо равен нулю, т. е. Xik (pk) = 0, поскольку в силу вогнутости целевой функции это необходимое условие оптимальности является также и достаточным. Отметим, что так как функция полезности в задаче (Cgk) является строго вогнутой, то Xik (pk) =0 - единственное решение этой задачи. Тем самым мы доказали, что в общем случае Xik (pk) ^ 0 при pk ^ го.

2010-07-19 18:44 Читать похожую статью

  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • Контрольная работа
  • © Помощь студентам
    Образовательные документы для студентов.